EXERCICE DE GYROSCOPIE

CONTENU : Mis à jour décembre 2000

ETUDE QUALITATIVE DE COMPORTEMENTS GYROSCOPIQUES.

Phénomène de Sire

Exemple de système érecteur

 

Dans les exemples qui suivent, le raisonnement demandé doit reposer essentiellement sur une approche physique de la gyroscopie, consistant à utiliser sans calculs les règles simples suivantes.

1°) Tendance au parallélisme de l'axe d'un gyroscope et de l'axe de la rotation imposée. Voir tendance au parallélisme.

2°) La vitesse absolue Va(P) de l'extrémité P du moment cinétique est égale au moment en O ( si O est fixe dans le repère absolu ) ou moment au centre d'inertie G du gyroscope.

Voir cours.

I PHENOMENE DE SIRE

On considère un gyroscope S monté mobile sans frottement autour d'un point fixe O dans un repère galiléen. Ce solide de révolution , de forme cylindrique voit son axe prolongé par une tige solide , métallique , d'épaisseur faible mais non nulle, autant de rayon r petit.

L'ensemble est supposé parfaitement équilibré avec O centre d'inertie de S. Comme le montre la figure, une courbe matérielle régulière, sans points anguleux à courbure faiblement variable, solide non déformable est disposée à coté du gyroscope. A un instant donné l'axe du gyroscope est amené en contact avec cette courbe

Montrer que si le contact présente du frottement alors l'axe du gyroscope suit indéfiniment la courbe.

II EXEMPLE D'ASSERVISSEMENT DE L'AXE GYROSCOPE ET D'UN MECANISME D'ERECTION :

Le système qui suit, n'a pas d'autre utilité que d'illustrer, sur un cas simple, la notion d'asservissement de l'axe d'un gyroscope à une direction donnée.

La toupie S tourne à une vitesse angulaire ro autour de son axe, elle comporte une calotte S supposée taillée dans une sphère de centre O. Le système gyroscopique S+ S est supposé parfaitement équilibré , mobile autour du point fixe O d'un repère galiléen.

Au dessus du système on dispose d'un tube fixe, dont l'axe à passe par O et dans lequel glisse un corps cylindrique terminé par une petite demi-sphère, un ressort très doux assure la pression très faible sur ce corps coulissant et donc sur la calotte S. Le contact a lieu avec un frottement léger.

Montrer que si l'on décale l'axe Z par rapport à D alors l'asservissement par frottement joue et ramène l'axe suivant la direction D.

 

 

SOLUTION

I PHENOMENE DE SIRE

Le raisonnement est ici essentiellement physique et repose sur une analyse précise du contact et des forces mises en jeu. Dès que l'axe du gyroscope touche la courbe, il naît une réaction normale N, et donc automatiquement une action tangentielle T. Le sens de T dépend de la vitesse de glissement Vg(I) au point de contact, il lui est opposé. Or la vitesse Vg(I) est avec une bonne approximation et vu le sens de la rotation ro , comme indiquée sur la figure.

La conclusion est maintenant simple à tirer, en effet nous savons que l'axe Z a tendance à s'aligner sur le moment résultant des forces en jeu sur le gyroscope.

Dans le cas qui nous préoccupe, ce moment se compose de deux parties l'une Mo(T) qui est dirigée vers la normale intérieure à la courbe et qui produit donc une pression de l'axe sur la courbe et le moment Mo(N) qui est tangentiel est qui entraîne l'axe suivant la tangente à la courbe au point I.

L'ensemble de ces deux propriétés fait que l'axe du gyroscope suit fidèlement la courbe G pour peu que celle-ci soit régulière au sens mathématique habituel du terme.

NB: Cette propriété était utilisée dans des scies gyroscopiques pour lesquelles le rotor était constitué du moteur d'entraînement et d'une lame de scie circulaire.

II ASSERVISSEMENT DE L'AXE PAR FROTTEMENT

Vu le sens de la rotation du gyroscope , nous pouvons affirmer que la vitesse de glissement de la coupole sphérique rentre dans la feuille( ou l'écran ). Donc la composante tangentielle T est dirigée en sens contraire de Vg(I), le gyroscope est donc soumis à deux forces T et N.

Nous savons que l'extrémité P du moment cinétique du gyroscope prend une vitesse égale au moment en O (Point fixe dans Ra ) des forces extérieures appliquées à S.

Le moment de N est nul celui de T est dirigé vers la droite perpendiculairement à G. Or ce moment a deux composantes M1 normale à l'axe du gyroscope et M2 en sens contraire de l'axe Z.

Chaque composante a un rôle particulier:

M1 réalise l'asservissement en ramenant P vers G.

M2 qui est le couple de frottement freine la vitesse angulaire du rotor.

Guiziou Robert décembre 2000

Version Word 97 nommée comportements gyroscopiques.doc